80) Poincar‚. Sulla natura della geometria.
Le geometrie non euclidee hanno messo in discussione la natura
degli assiomi geometrici. La conclusione di Poincar‚ Š che gli
assiomi della geometria non sono ®giudizi sintetici a priori¯
(Kant), n‚ fatti sperimentali, ma solo convenzioni. Inoltre una
geometria non pu• essere pi£ vera di un'altra, ma solo pi£ comoda.
H. Poincar‚, La scienza e l'ipotesi, traduzione italiana di F.
Albergamo, La Nuova Italia, Firenze, 1949, pagine 57-59 (vedi
manuale pagine 312-313).

 La maggior parte dei matematici non considera la geometria di
Lobacevskij se non come una semplice curiosit… logica; alcuni di
essi sono andati tuttavia pi£ lontano. Poich‚ parecchie geometrie
sono possibili, Š proprio certo che la nostra Š la vera?
L'esperienza c'insegna, senza dubbio, che la somma degli angoli di
un triangolo Š uguale a due retti; ma perch‚ noi non operiamo che
su triangoli troppo piccoli; la differenza, secondo Lobacevskij, Š
proporzionale alla superficie del triangolo; non potrebbe diventar
sensibile se operassimo su triangoli pi£ grandi, o se le nostre
misure divenissero pi£ precise? La geometria euclidea sarebbe in
tal caso non altro che una geometria provvisoria. Per discutere
questa opinione dobbiamo prima domandarci qual sia la natura degli
assiomi geometrici. Sono giudizi sintetici a priori, come diceva
Kant? Ci si imporrebbero allora con tal forza, che non potremmo
concepire la proposizione contraria, n‚ costruire su di questa un
edificio teorico. La geometria non euclidea non sarebbe possibile.
Per convincersene, si prenda un vero giudizio sintetico a priori,
per esempio questo...: se un teorema Š vero per il numero 1, e se
si dimostra che esso Š vero per n + 1, purch‚ lo sia anche per n,
sar… vero per tutti i numeri interi positivi. Si provi poi di
farne a meno, e di fondare, negando questa proposizione, una falsa
aritmetica, analoga alla geometria non euclidea, - non vi si potr…
riuscire; si Š anzi tentati, a prima vista, di considerare questi
giudizi come analitici. [...] Dobbiamo dunque concludere che gli
assiomi della geometria sono verit… sperimentali? Ma non si
esperimenta su rette o su circonferenze ideali; non si pu• farlo
che su oggetti materiali. A che porterebbero dunque le esperienze
fatte al fine di fondare la geometria? E' facile la risposta.
Abbiamo visto... che si ragiona costantemente come se le figure
geometriche si comportassero alla maniera dei corpi solidi. Ci•
che la geometria prende prestito dall'esperienza, sono dunque le
propriet… di questi corpi. Le propriet… della luce e la sua
propagazione rettilinea hanno dato cos¡ l'occasione, da cui sono
sorte alcune proposizioni della geometria, e in particolare quelle
della geometria proiettiva; da questo punto di vista, quindi, si
sarebbe tentati di dire che la geometria metrica Š lo studio dei
solidi e che la geometria proiettiva Š quello della luce. Ma una
difficolt… sussiste, ed Š insormontabile. Se la geometria fosse
una scienza sperimentale, non sarebbe una scienza esatta, e
andrebbe soggetta a una continua revisione. Che dico? Essa sarebbe
fin d'ora riconosciuta erronea, poich‚ sappiamo che non esiste
solido rigorosamente invariabile. Gli assiomi non sono dunque n‚
giudizi sintetici a priori n‚ fatti sperimentali: sono
convenzioni. La nostra scelta fra tutte le convenzioni possibili Š
guidata da fatti sperimentali; ma essa resta libera ed Š limitata
solo dalla necessit… di evitare ogni contraddizione. In tal modo i
postulati possono rimanere rigorosamente veri, anche quando le
leggi sperimentali, che ne hanno suggerita l'adozione, sono
approssimative. In altri termini, gli assiomi della geometria (non
parlo qui di quelli dell'aritmetica) sono semplici definizioni
mascherate. Che si deve quindi pensare della questione circa la
verit… della geometria? Essa non ha alcun senso. Sarebbe come
domandare se il sistema metrico sia vero e false le antiche
misure; se siano vere le coordinate cartesiane e false quelle
polari. Una geometria non pu• essere pi£ vera di un'altra; essa
pu• essere soltanto pi£ comoda. Ora la geometria euclidea Š e
rester… la pi£ comoda: 1ø Perch‚ Š la pi£ semplice; e lo Š, non
solo in rapporto alle nostre abitudini intellettuali, o per non so
quale intuizione diretta che noi avremmo dello spazio euclideo; ma
anche essa Š la pi£ semplice in s‚, come un polinomio di primo
grado Š pi£ semplice di un polinomio di secondo grado, e come le
formule della trigonometria sferica sono pi£ complicate di quelle
della geometria rettilinea, e tali ancora sembrerebbero a un
analista che ne ignorasse il significato geometrico. 2ø Perch‚ la
geometria si accorda assai bene con le propriet… dei solidi
naturali di questi corpi che noi tocchiamo e vediamo, e coi quali
facciamo i nostri strumenti di misura.
Novecento filosofico e scientifico, a cura di A. Negri, Marzorati,
Milano, 1991, volume secondo, pagine 748-749.
