p 298 .

Paragrafo 2 . Le rivoluzioni delle scienze matematiche e fisiche.


     
øøIntroduzione.

Nel   corso   del  diciannovesimo  secolo  avvengono,  nelle   scienze
matematiche  e  fisiche,  vere  e proprie  rivoluzioni  che  minano  i
fondamenti classici del sapere scientifico. Tralasciando di analizzare
in  maniera  particolareggiata  queste trasformazioni,  cercheremo  di
indicarne  sommariamente la direttrice e di sottolinearne la rilevanza
sul piano filosofico.

øøLe geometrie non euclidee e le nuove concezioni della matematica.

La filosofia matematica.

Il  processo  di  progressiva semplificazione logica  delle  strutture
della  conoscenza scientifica Š una costante - come  vedremo  anche  a
proposito  della teoria della relativit… di Einstein -  della  scienza
del  ventesimo  secolo.  La definizione che il matematico  e  filosofo
inglese  Bertrand  Russell  d…  della ®filosofia  matematica¯  pu•  in
qualche modo essere estesa alla ®filosofia della scienza¯.
     ®La  Matematica  Š  una  disciplina che  pu•  essere  sviluppata,
partendo dai suoi aspetti pi£ familiari, in due opposte direzioni.  La
direzione  pi£  comune Š costruttiva, e procede verso una  complessit…
gradualmente  crescente: dai numeri interi alle  frazioni,  ai  numeri
reali  e  ai  numeri complessi; dall'addizione e dalla moltiplicazione
alla  derivazione  e alla integrazione, e avanti ancora  verso  l'alta
matematica. L'altra direzione, che Š meno comune, procede per  analisi
verso  una  sempre maggiore astrazione e semplicit… logica.  [...]  La
filosofia  matematica si distingue dalla matematica ordinaria  proprio
per il fatto di seguire questa seconda direzione¯(2).
     
La scoperta delle geometrie non euclidee.
     
®I  geometri  dell'antica Grecia, passando dalle regole empiriche  dei
periti  agrimensori egizi agli enunciati generali con  i  quali  dette
regole  vennero  spiegate,  e di l¡ agli assiomi  e  ai  postulati  di
Euclide, erano in piena filosofia matematica,

p 299 .

secondo  la definizione data pi£ sopra¯(3). La storia della  geometria
euclidea Š poi andata - osserva ancora Russell - nella direzione della
®matematica  come  Š ordinariamente intesa¯: Š consistita  cioŠ  nella
deduzione dai postulati di Euclide di tutta una serie di teoremi e  di
regole, in un processo di ®complicazione¯.
     All'inizio  del  diciannovesimo secolo non  si  dubitava  nemmeno
lontanamente  della validit… di questo metodo deduttivo nelle  scienze
matematiche, fondate su princ¡pi universalmente validi. Per Kant, come
si  ricorder…,  le proposizioni matematiche e i postulati  di  Euclide
sono  addirittura  una  conoscenza a priori, cioŠ  non  derivata  -  e
completamente autonoma - dall'esperienza.(4)
     Proprio  dal  tentativo  di rafforzare  ulteriormente  il  valore
fondante  dei  postulati di Euclide nasce per caso  la  geometria  non
euclidea.(5)  Gi…  dai tempi antichi, infatti, erano  stati  formulati
dubbi   sul   quinto   postulato  di  Euclide,  quello   sulle   rette
parallele;(6) i matematici del diciottesimo secolo si preoccuparono di
fugare  questi  dubbi  dimostrando che  le  possibili  alternative  al
postulato  di  Euclide generano contraddizioni e quindi sono  assurde.
Una di queste alternative prevedeva che per il punto P potesse passare
pi£  di  una  retta  parallela a l.(7) Nel diciannovesimo  secolo  due
studiosi,  il  russo  Nikolaj  Ivanovic˜  Lobac˜evskij  (1793-1856)  e
l'ungherese  J nos  Bolyai  (1802-1860),  lavorando  indipendentemente
l'uno dall'altro, costruiscono una geometria non euclidea, all'interno
della quale, ad esempio, la somma degli angoli interni di un triangolo
Š sempre minore di 180ø.8(
     )  Una  volta  spezzata  la catena della  certezza  fondante  dei
postulati di Euclide, partendo proprio dall'anello debole del  quinto,
e  nonostante  le  forti resistenze degli ambienti scientifici,(9)  si
apre la via alla nascita di tutte una serie di geometrie non euclidee,
che  prendono  in considerazione le figure costruite su  piani  curvi,
anzich‚ sul tradizionale piano di Euclide.(10)
     
     p 300 .
     
     Al  di l… degli spazi che vengono cos¡ aperti per altri ambiti di
ricerca,(11) le geometrie non euclidee rappresentano un vero e proprio
rovesciamento del metodo di procedere ordinario della matematica:  non
pi£  deduzioni  e  ®complicazioni¯ che partono da  assiomi  fondati  e
fondanti,  ma  ricerca  e  ®creazione¯ di punti  di  partenza  per  la
costruzione di sistemi, all'interno dei quali la verit…, la coerenza e
la contraddittoriet… non sono pi£ garantite a priori.
     
Il problema dei fondamenti della matematica.
     
La  nascita  delle  geometrie non euclidee trascina  nella  crisi  dei
fondamenti  l'intero  corpo delle discipline  matematiche  e,  quindi,
impone  di  ®verificare¯ nella misura pi£ ampia possibile  gli  stessi
procedimenti della matematica.
     La   matematica,  che  per  secoli  Š  stata  il  simbolo   della
precisione  e dell'esattezza, sente il bisogno di mettere a  punto  un
metodo   di  controllo  che  elimini  il  pi£  possibile  il   ricorso
all'intuizione e all'uso del linguaggio comune: questo perch‚  -  come
abbiamo  appena  detto  - Š ormai chiaro che l'evidenza  intuitiva  di
alcuni  postulati  non  Š  in  grado di garantirne  la  verit…;  e  il
linguaggio   comune,   cui  spesso  si  ricorre  nelle   dimostrazioni
matematiche, mostra non poche ambiguit….
     Uno  dei  contributi  pi£  significativi  al  rinnovamento  della
matematica  in tale direzione viene da Gottlob Frege. Il problema  che
egli  individua Š quello di costruire ragionamenti matematici  in  cui
non manchi nessun anello:(12) per fare ci• Š necessario introdurre  un
assoluto  rigore  logico nei ragionamenti matematici,  sostituendo  un
simbolismo inequivocabile alle
     
     p 301 .
     
     ambiguit…  del  linguaggio  comune. ®Ad  evitare  che  niente  di
intuitivo   vi   [nel  ragionamento  matematico]  penetrasse,   dovevo
costantemente  sforzarmi perch‚ la catena delle  inferenze  non  fosse
soggetta ad alcuna rottura. Cercando di soddisfare questa esigenza  il
pi£   strettamente  possibile,  mi  accorsi  che   un   ostacolo   era
rappresentato  dall'inadeguatezza del linguaggio. Per  quanto  pesanti
fossero  le  espressioni che ero pronto ad accettare, ero sempre  meno
capace,  a mano a mano che le relazioni diventavano vieppi£ complesse,
di ottenere la precisione richiesta dal mio proposito. E' stata questa
deficienza  a  darmi  l'idea della presente ideografia(13).  Il  primo
obiettivo  Š quello di darci il criterio pi£ sicuro della validit…  di
una  catena di inferenze e di permetterci di risalire fino alla  fonte
di tutto ci• che vi restava implicito¯(14).
     Ci   troviamo  cos¡  di  fronte  a  una  riduzione  dei  concetti
matematici  a concetti logici. Ci• che appariva immediato, percepibile
quasi  in  maniera  sensibile, viene riportato  a  una  struttura  del
pensiero:  tale  Š  infatti la logica. E' stato fatto  notare  che  la
logica  matematica  (la logica di Frege Š anche cos¡  definita)  Š  la
riproposizione  di  una sorta di platonismo(15): la struttura  logico-
matematica Š una realt… ®ideale¯ che preesiste al pensiero  e  che  il
matematico  ha il compito di scoprire; gli enti matematici  sono  enti
reali,  la  cui  esistenza e realt… prescindono da ogni relazione  con
l'esperienza.
     La  liberazione della matematica dalle ambiguit… del senso comune
e   dell'intuizione  la  porta  ad  essere  qualcosa  di  pi£  di   un
®linguaggio¯   (magari   usato  da   Dio   per   scrivere   il   libro
dell'universo), e ne fa la scienza di enti reali: i numeri.
     La  discussione si apre immediatamente, assumendo  -  come  fanno
notare  unanimemente gli storici della matematica - le caratteristiche
e  i  toni  dei dibattiti medievali sugli universali:(16) le propriet…
dei  numeri sono indipendenti dalla nostra attivit… razionale,  oppure
sono  il  risultato  di  un  atto costitutivo  della  nostra  attivit…
razionale?(17)
     La  discussione Š tuttora aperta, e si Š arricchita nel corso del
nostro  secolo di una variet… e di una articolazione di posizioni  che
la   rendono  affascinante  proprio  sul  piano  filosofico,  ma   che
impediscono una qualsiasi forma di approccio - anche sommario - al non
specialista.  Per  noi  Š  sufficiente  mettere  in  evidenza  che  la
matematica,  da  strumento per risolvere i problemi  della  conoscenza
(come  la  volevano Descartes e Galileo, Spinoza e Kant), si  Š  fatta
essa stessa problema per la conoscenza.

p 302 .

øøMach, Einstein e la critica a Newton.
     
Ernst Mach contro i ®cattivi concetti fisici¯.
     
Il  fisico  Ernst  Mach  era sostenitore di un rigoroso  empirismo  e,
proprio  per  questo,  convinto che l'empirismo  tradizionale  dovesse
essere sottoposto a una critica serrata, esattamente come aveva  fatto
Kant  con  l'intera  filosofia. Da questa  istanza  nasce  il  termine
empiriocriticismo, che designa il pensiero filosofico e scientifico di
Mach.
     Mach  si  rende  conto  che  alcuni concetti  fondamentali  della
fisica classica si sottraggono a una effettiva verifica empirica.
     Innanzitutto  Š il concetto newtoniano di spazio assoluto(18)  ad
essere  sottoposto all'analisi critica di Mach. Lo spazio  assoluto  Š
concepito  da Newton come un contenitore universale in s‚  fermo,  nel
quale  e  rispettivamente al quale tutti i movimenti hanno luogo.  Dal
punto  di vista empirico - osserva Mach - questo spazio risulta vuoto,
mentre ogni movimento di un corpo Š un movimento relativo a un altro o
ad  altri  corpi.  La  concezione di  Mach  Š  quella  di  uno  spazio
relazionale riferito a corpi percettibili.
     Il  concetto  di  spazio  assoluto deve pertanto  essere  espunto
dalla  fisica: esso Š uno di quei ®cattivi concetti fisici¯  che  Mach
definisce   metafisici.(19)  Solo  in  una  circostanza   si   possono
provvisoriamente salvare alcuni princ¡pi metafisici: quando, anche  se
non  hanno  alcun  rapporto con l'esperienza, con il  loro  aiuto  sia
possibile un maggiore e pi£ facile chiarimento dei fenomeni fisici. Ma
questo non Š il caso dello spazio assoluto di Newton.(20)
     
Albert Einstein e il ®miracolo¯ del mondo reale.
     
L'intuizione  di  Mach, che porta a una critica  quasi  esclusivamente
distruttiva di un fondamento essenziale della fisica newtoniana, viene
ripresa  e  sviluppata  da  Albert  Einstein,  la  cui  teoria   della
relativit…  non  solo nega l'esistenza di uno spazio  e  di  un  tempo
assoluti,  ma anche altri aspetti fondamentali della fisica  classica,
come  la  distinzione fra massa e energia - con le relative  leggi  di
conservazione - e la distinzione qualitativa fra campo e materia.(21)
     
     p 303 .
     
     Le  conseguenze filosofiche della nuova fisica relativistica sono
certamente  pi£  rilevanti di quelle prodotte dalle critiche  e  dalle
scoperte di Mach.
     Entrambi  sono  convinti  che la scienza  non  sia  in  grado  di
fornire una conoscenza certa della realt…, ma mentre i lavori di  Mach
rappresentano  un  tentativo di ricondurre  -  attraverso  l'empirismo
critico - la totalit… delle conoscenze ad elementi semplicissimi, tali
da   consentire   un   passaggio  senza  salti   dalla   fisica   alla
psicologia,(22)  per  Einstein esiste sempre,  nella  realt…  e  nella
possibilit… di conoscerla, una zona di mistero.
     Einstein fa risalire - secondo la tradizione dell'empirismo -  le
nostre  idee  alle  nostre esperienze sensoriali, ma  il  processo  di
formazione  delle idee Š tutto soggettivo: le idee sono una  creazione
della  nostra mente. Anche l'idea di un ®mondo reale esterno¯  non  si
sottrae   a  questa  regola:  essa  nasce  dal  concetto  di  ®oggetto
corporeo¯,  il  quale  -  come tutti i concetti  -  Š  ®una  creazione
arbitraria  della  mente  umana¯:  ®Dalla  moltitudine  delle   nostre
esperienze  sensoriali noi preleviamo, mentalmente e  arbitrariamente,
certi complessi
     
     p 304 .
     
     di  impressioni sensoriali che si presentano a pi£ riprese  [...]
e   attribuiamo  loro  un  significato,  il  significato  di   oggetto
corporeo¯(23).
     La  nostra  elaborazione mentale (fino alle pi£ complesse  teorie
scientifiche)   si  rende  progressivamente  autonoma  dall'esperienza
sensoriale  da  cui  ha  tratto origine e pu•  venire  utilizzata  per
ordinare  e spiegare il complesso delle nostre esperienze. Per  quanto
possa  sembrare paradossale - osserva Einstein - le nostre costruzioni
teoriche,  ®per quanto siano libere convenzioni della nostra  attivit…
intellettuale,  ci  appaiono pi£ solide e  inalterabili  della  stessa
esperienza  sensoriale  individuale, di cui non  Š  mai  completamente
garantito    che    sia   il   prodotto   di   un'illusione    o    di
un'allucinazione¯(24).
     Riemerge,  come  si vede, il dubbio cartesiano  sulla  veridicit…
delle  sensazioni, ma - in opposizione a Descartes - Einstein  esclude
ogni   forma  di  innatismo  e  attribuisce  (kantianamente)  soltanto
all'uomo la facolt… di costruire strumenti teorici che diano senso  al
®mondo esterno¯ e lo rendano comprensibile. Il linguaggio matematico Š
una  creazione  umana  e  non  certo  il  modello  usato  da  Dio  per
organizzare  il  mondo(25),  eppure ci consente  di  comprenderlo.  La
comprensibilit…  del  mondo Š un fatto di gran lunga  pi£  eccezionale
della sua stessa esistenza: comprensibilit…, ®in generale, implica  la
produzione di un qualche tipo di ordine fra le impressioni sensoriali,
tale  ordine  essendo prodotto dalla creazione di  concetti  generali,
dalle  relazioni fra questi concetti, e dalle relazioni fra i concetti
e  l'esperienza  sensoriale,  relazioni determinate  in  ogni  maniera
possibile.  E'  in  questo senso che il mondo delle nostre  esperienze
sensoriali Š comprensibile. Il fatto che sia comprensibile  Š  davvero
un miracolo¯(26).
     Questo  Š  il mistero o miracolo di cui Einstein parla: il  mondo
esterno risponde straordinariamente agli strumenti interpretativi  che
siamo andati elaborando.
p 305 .

L'®equivoco¯ della relativit….
     
Abbiamo spesso parlato - a partire dai sofisti e fino al pragmatismo -
di   relativit…  e  di  relativismo  per  indicare  quelle  concezioni
filosofiche  che negano la conoscibilit… o addirittura l'esistenza  di
verit… assolute e incontrovertibili. Per la teoria della relativit… di
Einstein  il  discorso Š un po' pi£ complesso e  si  articola  su  due
livelli.
     La concezione filosofica della conoscenza espressa da Einstein  Š
indubbiamente di tipo relativistico, simile a quella del  pragmatismo.
Per poter formulare teorie e, pi£ in generale, per poter pensare, sono
necessarie ®categorie e concetti in generale¯(27), ma queste categorie
non  sono  - come pensava Kant - universali ed eterne, immanenti  alla
natura dell'uomo, bens¡ suscettibili di cambiamenti e, in molti  casi,
arbitrarie: la loro validit… dipende esclusivamente dai risultati  che
esse   ci   consentono  di  ottenere.(28)  ®Solo   accettando   questa
concezione,  la  mente  pu• sentirsi libera di modificare  le  nozioni
tradizionali di spazio e di tempo, di riesaminare tutte le possibilit…
utilizzabili per definirle, e di scegliere quella formulazione che pi£
concorda  con  l'esperienza. L'accordo con  l'esperienza  deve  essere
ottenuto  non negli stadi iniziali dell'analisi teorica, ma nelle  sue
conseguenze finali¯(29).
     Altra  cosa  Š  la  teoria  della relativit…  come  strumento  di
conoscenza  scientifica del mondo fisico. Proprio perch‚ Š una  teoria
scientifica,  la  relativit… di Einstein Š quanto di  pi£  preciso  ed
esatto si possa pensare: essa Š una costruzione di tipo matematico che
rende  conto,  nella maniera pi£ semplice possibile,(30)  del  maggior
numero  possibile di fenomeni fisici. Quindi niente Š pi£ lontano  dal
pensiero di Einstein di un ®relativismo¯ di tipo sofistico
     
     p 306 .
     
     applicato   alle  leggi  fisiche  e  di  una  libert…  soggettiva
nell'interpretazione dei fenomeni naturali.
