37) Peano. Sulle definizioni.
Partendo da Aristotele ed esaminando anche le posizioni di altri
filosofi, il grande matematico italiano Giuseppe Peano (1858-1932)
mette in evidenza in questa lettura l'utilit… delle definizioni ma
anche la presenza in esse di inesattezze e incertezze lessicali.
Traduzione della frase in francese: ®Le definizioni sono molto
libere e non sono mai soggette ad essere contraddette, poich‚ non
c'Š nulla di pi£ permesso che di dare ad una cosa che uno ha
chiaramente indicato, il nome che egli vorr…¯. Traduzione della
frase in latino: ®Le definizioni sono di per s‚ arbitrarie;
tuttavia devono essere accomodate ed approvate dal consenso comune
degli amici¯.
G. Peano, La definizione in matematica.

 Le definizioni sono utili, ma non necessarie, poich‚ al posto del
definito si pu• sempre sostituire il definiente, e perci•
eliminare da tutta la teoria il definito. Questa eliminazione Š
cosa molto importante. Se eliminando il simbolo definito, la nuova
esposizione non Š pi£ lunga e pi£ complicata della precedente, ci•
significa che quella definizione era poco utile. Se si incontrano
difficolt… nella eliminazione, ci• prova che la definizione non fu
ben data; anzi questo metodo della sostituzione Š ottimo per
riconoscere l'esattezza d'una definizione.
Ci• gi… disse Aristotele, Top. 6, 4: ®affinch‚ l'inesattezza della
definizione diventi manifesta, devesi porre, al luogo del nome, il
concetto¯.
I numeri razionali si definiscono mediante i naturali; quindi ogni
teorema sui razionali si pu• trasformare in un teorema sui soli
numeri naturali; la cosa Š facile, e si ritrova il linguaggio di
Euclide.
I numeri irrazionali si definiscono mediante i numeri razionali,
quindi ogni teorema di analisi deve in definitiva essere un
teorema sui numeri naturali. La trasformazione fu tentata da
alcuni autori, ma la cosa non Š facile. [...].
Le definizioni, in teoria sono arbitrarie. Dice Pascal: ® les
d‚finitions sont trŠs libres, et elles ne sont jamais sujettes …
ˆtre contredites, car il n'y a rien de plus permis que de donner …
une chose qu'on a clairement d‚sign‚e, un nom tel qu'on voudra ¯.
Leibniz pone per• una limitazione pratica: ® Definitiones per se
quidem sunt arbitrariae, usui tamen accomodari et communi sociorum
consensu probari debent ¯.
Hobbes [...] aveva gi… detto: ®se le definizioni sono arbitrarie,
tutta la matematica, che basa sulle definizioni, Š una scienza
arbitraria¯. Ma, supposte le definizioni arbitrarie, risulta solo
arbitrari la forma della matematica, non il contenuto dei teoremi.
Anche nella forma noi dobbiamo seguire l'uso del linguaggio comune
e matematico, astenendosi dal fabbricare nuovi nomi, o dare nuovi
significati alle parole note, senza necessit…. Se ad una parola
del linguaggio comune si d… un significato molto diverso, come
differenziale, integrale, vettore, essa figura come una parola
nuova, e non c'Š pericolo di confusione.
Ma se ad una parola si d… un significato poco diverso il pericolo
di confusione Š continuo.
Grande Antologia Filosofica, Marzorati, Milano, 1978, volume
trentunesimo, pagina 389.
