79) Poincar‚. Sulle geometrie non euclidee.
Jules-Henry Poincar‚ (1854-1912) scienziato ed epistemologo
francese, ha dato un importante contributo al dibattito sulla
scienza sostenendo un ®convenzionalismo moderato¯. In questa
lettura egli tratta degli assiomi della geometria in rapporto alle
geometrie non euclidee di Lobacevskij e Rieman. E' noto che le
nuove scoperte nel campo della geometria lo portarono a sostenere
anche in questo campo una posizione convenzionalista (gli assiomi
geometrici sono solo delle convenzioni). [La frase Ueber die
Hypothesen welche der Geometrie zum Grunde liegen significa Sulle
ipotesi che sono il fondamento della geometria].
H. Poincar‚, La scienza e l'ipotesi, traduzione italiana di F.
Albergamo, La Nuova Italia, Firenze, 1949, pagine 46-50 ( pagine
312-313).

 Ogni geometria suppone delle premesse; queste o sono evidenti di
per se stesse, e non hanno bisogno di dimostrazione, o possono
essere stabilite solo appoggiandosi ad altre proposizioni; e
poich‚ non si pu• andare cos¡ all'infinito, ogni scienza
deduttiva, e in particolare la geometria, deve fondarsi su un
certo numero di assiomi indimostrabili. Tutti i trattati di
geometria cominciano dunque con l'enunciato di tali assiomi. Ma vi
Š tra gli assiomi una distinzione da fare: alcuni, come questo per
esempio: ®due quantit… eguali a una terza sono eguali tra loro¯,
non sono proposizioni di geometria, ma proposizioni di analisi. Io
le considero come giudizi analitici a priori, e non me ne
occuper•. Ma devo insistere su altri assiomi, peculiari alla
geometria. La maggior parte dei trattati ne enunciano
esplicitamente tre: 1ø Per due punti pu• passare solo una retta;
2ø La linea retta Š il pi£ breve cammino tra un punto e l'altro;
3ø Per un punto non si pu• far passare che una sola parallela a
una retta data. Bench‚ ci si dispensi generalmente dal dimostrare
il secondo di questi assiomi, si pu• tuttavia dedurlo dagli altri
due e da quelli, molto pi£ numerosi, che vengono ammessi
implicitamente senza enunciarli [...]. Per lungo tempo si Š
cercato invano di dimostrare il terzo assioma, noto sotto il nome
di postulato di Euclide. Gli sforzi fatti in questa chimerica
speranza sono veramente inimmaginabili. Finalmente, al principio
del secolo, e all'incirca nello stesso tempo, due scienziati, un
russo e un ungherese, Lobacevskij e Bolyai, stabilirono in maniera
irrefutabile che tale dimostrazione Š impossibile; essi ci hanno
quasi liberati dagli inventori di geometrie senza postulati; da
allora, l'Accademia delle Scienze non riceve pi£ che una o due
dimostrazioni nuove ogni anno. La questione non era per• esaurita;
essa non tard• a fare un gran passo con la pubblicazione della
celebre memoria di Riemann intitolata: Ueber die Hypothesen welche
der Geometrie zum Grunde liegen. Questo opuscolo ha ispirato la
maggior parte dei recenti lavori..., fra i quali bisogna citare
quelli di Beltrami e di Helmotz.
Se fosse possibile dedurre il postulato di Euclide dagli altri
assiomi, avverrebbe evidentemente che, negando il postulato e
ammettendo altri assiomi, si arriverebbe a conseguenze
contraddittorie; sarebbe dunque impossibile fondare su tali
premesse una geometria coerente. Ora ci• Š precisamente quello che
ha fatto Lobacevskij. Egli suppone al principio che: si possono
per un punto condurre pi£ parallele a una retta data, e conserva,
invece, tutti gli altri assiomi di Euclide. Da questa ipotesi
deduce una serie di teoremi, tra i quali Š impossibile rilevare
alcuna contraddizione, e costruisce una geometria, la cui logica
impeccabile non cede in nulla a quella della geometria euclidea. I
teoremi di tale geometria sono, si capisce molto differenti da
quelli a cui siamo abituati, ed essi in sul principio ci
disorientano un poco. Per esempio, la somma degli angoli di un
triangolo Š sempre minore di due retti, e la differenza tra questa
somma e due retti Š proporzionale alla superficie del triangolo.
[...] La geometria di Riemann Š la geometria sferica estesa alle
tre dimensioni. Per costruirla, il matematico tedesco ha dovuto
buttar gi£, non solo il postulato di Euclide, ma anche il primo
assioma: per due punti si pu• condurre una sola retta. Sopra una
sfera, per due punti dati si pu• far passare, in generale, solo un
cerchio massimo [...]. Ma vi Š un'eccezione: se i due punti dati
sono diametralmente opposti, si potranno far passare per essi una
infinit… di cerchi massimi. Parimenti nella geometria di Riemann
(almeno sotto una delle sue forme), per due punti passer… in
generale solo una retta; ma vi sono casi eccezionali, nei quali
per due punti potranno passare una infinit… di rette [...].
Novecento filosofico e scientifico, a cura di A. Negri, Marzorati,
Milano, 1991, volume secondo, pagine 747-748
