40) Cantor. Insiemi e numeri cardinali.
Georg Cantor (1845-1918) Š importante soprattutto per aver
attribuito alle entit… matematiche un'interpretazione interna alla
logica formale, aprendo la strada ai successivi tentativi di
completa logicizzazione della matematica stessa. In questa lettura
il grande matematico tedesco presenta una definizione degli
insiemi, dei numeri cardinali e dell'equivalenza fra gli insiemi.
G. Cantor, Contribuzione al fondamento della teoria degli insiemi
transfiniti.

Per ® insieme ¯ (Menge) noi intendiamo ogni riunione M in un tutto
di determinati e ben distinti oggetti m dati dai nostri sensi o
dal nostro pensiero (che son detti gli elementi di M). Ci• noi
esprimiamo in segni con:
(1) M = m riunione in un solo di pi£ insiemi M, N; P, ..., che non
hanno elementi comuni, Š da noi rappresentata con.
(2) (M, N, P,...).
Gli elementi di questo insieme sono adunque gli elementi di M, di
N, di P, eccetera presi insieme.
® Parte ¯ o ® insieme parziale ¯ d'un insieme M chiamiamo ogni
altro insieme M 1, i cui elementi sono ad un tempo elementi di M.
Se M 2 Š una parte di M 1 ed M 1 una parte di M, Š anche M 2 una
parte di M.
Ad ogni insieme spetta una determinata ®potenza ¯ (M„chtigkeit),
che noi chiamiamo anche il suo ® numero cardinale ¯.
Potenza o numero cardinale di M chiamiamo quell'idea generale, che
per mezzo della nostra attiva facolt… di pensare si deduce
dall'insieme M, facendo astrazione dalla natura dei suoi diversi
elementi e dall'ordine con cui vien dato. Il risultato di questo
doppio atto di astrazione, il numero cardinale o la potenza di M,
viene da noi indicato con.
(3) M.
Siccome da ogni singolo elemento m, quando si fa astrazione dalla
sua natura, nasce un'unit…, cos¡ il numero cardinale M Š esso
stesso un determinato insieme costituito di pure unit…, che ha
esistenza come immagine intellettuale o proiezione nel nostro
animo dell'insieme dato M.
Diciamo equivalenti due insiemi M ed N e denotiamo ci• con.
 (4)M ~ N ovvero N ~ M,
quando Š possibile con una legge metterli in una siffatta
reciproca relazione, che ad ogni elemento di uno di essi
corrisponda uno ed un solo elemento dell'altro. Ad ogni parte M 1
di M corrisponde allora una determinata equivalente parte N 1 di N
ed inversamente.
Avendosi una tal legge per riferire tra loro due insiemi
equivalenti, essa si pu• in varie maniere modificare (escluso il
caso che ciascuno degli insiemi consti di un solo elemento). In
particolare si pu• sempre fare in modo che ad un determinato
elemento m 0 di M corrisponda un elemento dato qualsiasi n 0 di N.
Infatti, se gli elementi m 0 ed n 0 gi… non si corrispondono nella
legge iniziale, ma all'elemento m 0 di M corrisponde l'elemento n
1 di N, ed all'elemento n 0 di N l'elemento m 1 di M, basta
assumere come legge modificata quella per cui diventano elementi
corrispondenti dei due insiemi m 0 ed n 0, e cos¡ pure m 1, ed n
1, e per tutti gli altri elementi si conserva la primitiva legge;
a questo modo si ottiene lo scopo voluto.
Ogni insieme Š equivalente a se stesso:
 (5)M ~ M.
Se due insiemi sono equivalenti ad un terzo, essi sono anche
equivalenti tra loro:
 (6)da M ~ P e N ~ P segue M~ N.
E' di fondamentale importanza questo che due insiemi M ed N hanno
lo stesso numero cardinale allora e solo allora quando essi sono
equivalenti:
 (7)da M ~ N segue M = N,
e.
 (8)da M = N segue M~ N.
La equivalenza degli insiemi Š dunque il criterio necessario e
sufficiente per l'eguaglianza dei loro numeri cardinali.
Grande Antologia Filosofica, Marzorati, Milano, 1978, volume
trentunesimo, pagine 368-369.
