42) G”del. I limiti dei sistemi formali.
Kurt G”del (1906-1978), uno dei massimi esperti di logica formale,
Š famoso soprattutto per la ®prova di G”del¯ la quale, come egli
stesso riferisce in questa lettura, dimostra che tutti i sistemi
formali, anche quelli della matematica (v. lettura di Hilbert),
contengono proposizioni indecidibili.
K. G”del, Appendice agli atti del Secondo convegno di
epistemologia delle scienze esatte di K”nigsberg [1931].

 Un sistema formale si dice completo se ogni proposizione
esprimibile con i suoi simboli Š formalmente decidibile a partire
dagli assiomi, vale a dire se per ogni proporzione A di quel tipo
esiste una catena deduttiva finita che si sviluppa secondo le
regole del calcolo logico la quale comincia con certi assiomi e
finisce o con la proposizione A o con la proposizione non-A. Un
sistema S si dice completo rispetto a una certa classe K di
proposizioni se per lo meno tutte le proposizioni di K sono
decidibili a partire dagli assiomi S.
Ci• che viene mostrato nel lavoro citato Š che non esiste alcun
sistema con un numero finito di assiomi che sia completo anche
soltanto rispetto alle proposizioni aritmetiche; dove per
®proposizioni aritmetiche¯ devono intendersi quelle proposizioni
in cui gli unici concetti che vi figurano sono, oltre a +, ., e =
(addizione, moltiplicazione e identit… riferite a numeri
naturali), i connettivi logici del calcolo proposizionale e i
simboli per il quantificatore universale e per quello
esistenziale, riferiti questi, peraltro, solo a variabili che
variano sopra i numeri naturali (nelle proposizioni aritmetiche,
quindi, non compaiono assolutamente variabili diverse da quelle
per numeri naturali).
Persino in quei sistemi che hanno un numero infinito di assiomi
esistono sempre proposizioni aritmetiche indecidibili, purch‚ la
®regola che determina gli assiomi¯ soddisfi a certe condizioni
(molto generali).
Da quanto detto risulta in particolare che tutti i sistemi formali
della matematica finora conosciuti - per esempio, quello dei
Principia Mathematica (ivi compresi gli assiomi di riducibilit…,
dell'infinito e di scelta) oppure quelli assiomatici per la teoria
degli insiemi di Zermelo-Fraenkel e di von Neumann, o ancora i
sistemi formali della scuola hilbertiana - contengono proposizioni
aritmetiche indecidibili.
Grande Antologia Filosofica, Marzorati, Milano, 1978, volume
trentunesimo, pagine 439-440.
