45) Russell. Sulle antinomie.
Russell riduce le antinomie a tre tipi, quelle di contenuto
matematico, quelle che si pongono all'interno della logica e
quelle che si pongono nel campo della linguistica e che hanno un
qualche contenuto empirico.
B. Russell, I principi della matematica.

 A prima vista, le antinomie mi paiono essere di tre sorta: quelle
matematiche, quelle logiche e quelle di cui si pu• sospettare che
provengano da qualche tranello linguistico pi£ o meno banale. Tra
le antinomie definitivamente matematiche possono essere
considerate come tipiche quelle che riguardano il massimo numero
ordinale e il massimo numero cardinale.
La prima, scoperta dal Burali Forti, afferma: si sistemino tutti i
numeri ordinali in ordine di grandezza; allora l'ultimo di essi,
che chiameremo N, sar… il massimo numero ordinale. Sennonch‚ il
numero di tutti gli ordinali da 0 fino a N vale N + 1, che Š
maggiore di N. N‚ possiamo evitare la contraddizione facendo
notare che la serie dei numeri ordinali non ha un ultimo termine;
perch‚ anche in questo caso tale serie dovrebbe avere un numero
ordinale maggiore di qualunque termine della serie, cioŠ maggiore
di qualunque numero ordinale.
La seconda antinomia, quella concernente il numero cardinale
massimo, ha il merito di rendere particolarmente evidente la
necessit… di una teoria dei tipi. Sappiamo dall'aritmetica
elementare che il numero di combinazioni di n oggetti a un numero
qualunque per volta Š di 2 n , cioŠ che una classe di n termini ha
2 n sotto-classi. Possiamo provare che questa proposizione resta
vera quando n Š infinito. E il Cantor prov• che 2 n Š sempre
maggiore di n. Perci• non vi pu• essere nessun numero cardinale
massimo. Eppure si sarebbe detto che la classe contenente ogni
cosa avrebbe dovuto avere il maggior numero possibile di termini.
Tuttavia, dato, che il numero della classi di cose eccede il
numero delle cose, Š chiaro che le classi di cose non sono cose.
Delle antinomie ovviamente logiche, una Š discussa nel decimo
capitolo; l'antinomia pi£ famosa del gruppo linguistico, quella
del mentitore, fu inventata dai greci. Essa Š la seguente:
supponiamo che un uomo dica: ®Io mento¯. Se egli mente, il suo
enunciato Š vero, e perci• egli non mente; se egli non mente,
allora, quando egli dice che mente, egli mente. Sia l'una che
l'altra ipotesi implicano pertanto le proprie contraddittorie.
Grande Antologia Filosofica, Marzorati, Milano, 1978, volume
trentunesimo, pagine 409-410.
