41) Hilbert. Sulla coerenza degli assiomi dell'aritmetica.
In questa lettura il grande matematico tedesco David Hilbert (1862-
1943) rileva con soddisfazione che il lungo lavoro degli
specialisti ha portato alla dimostrazione che gli assiomi
dell'aritmetica, a cui si rifanno quelli della geometria e delle
teorie fisiche, sono coerenti. Cosˇ la matematica Š diventata un
tribunale per le questioni fondamentali.
D. Hilbert, Sull'infinito.

 E' altresˇ una piacevole sorpresa scoprire che, nello stesso
tempo, si Š risolto un problema che ha tormentato a lungo i
matematici, cioŠ quello di dimostrare la coerenza degli assiomi
dell'aritmetica. Quando infatti si adopera il metodo assiomatico,
si presenta il problema di dare una dimostrazione di coerenza.
Certo nella scelta, nella comprensione e nell'uso degli assiomi e
delle regole non ci si pu• fondare sulla buona fede o sulla
semplice fiducia. Nel caso della geometria e delle teorie fisiche
le dimostrazioni di coerenza vengono effettuate riducendo la loro
coerenza a quella degli assiomi dell'aritmetica. Tale metodo
ovviamente non pu• essere adoperato nel caso dell'aritmetica.
Poich‚ la nostra teoria della dimostrazione, in base al metodo
degli elementi ideali, consente di compiere quest'ultimo
importante passo, essa costituisce la necessaria chiave di volta
dell'edificio teorico dell'assiomatica. Ci• che Š gi… stato
sperimentato per due volte, la prima con i paradossi del calcolo
infinitesimale e la seconda con quelli della teoria degli insiemi,
non potr… verificarsi una terza volta n‚ mai piŁ.
La teoria della dimostrazione qui schizzata non solo pu• rendere
sicuri i fondamenti della matematica ma, a mio parere, fornisce
anche un metodo generale per trattare questioni fondamentali, che
rientrano nell'ambito del pensiero matematico ma che finora non si
era riusciti ad affrontare.
In un certo senso la matematica Š diventata un tribunale, una
corte suprema innanzi a cui portare questioni fondamentali, su una
base concreta su cui tutti possono essere d'accordo e che permette
di controllare ogni asserzione.
Anche le asserzioni del cosiddetto nuovo `intuizionismo' (per
quanto modeste), a mio parere, devono ottenere anzitutto un
attestato di validit… da questo tribunale.
Un esempio delle questioni fondamentali che si possono trattare in
tal modo Š fornito dalla tesi secondo cui ogni problema matematico
Š suscettibile di soluzione. Di ci• siamo tutti convinti. Infatti
uno dei principali motivi che ci inducono ad affrontare un
problema matematico Š che sentiamo sempre dentro di noi la voce:
ecco un problema, trova la soluzione. Per trovarla basta pensare:
non esistono ignorabimus in matematica. Ora la mia teoria della
dimostrazione non pu• fornire un metodo generale per risolvere
qualsiasi problema matematico, e del resto un metodo del genere
non esiste. Tuttavia rientra interamente nel suo ambito il compito
di mostrare che l'ipotesi che ogni problema matematico Š
suscettibile di soluzione Š un'ipotesi coerente.
Grande Antologia Filosofica, Marzorati, Milano, 1978, volume
trentunesimo, pagina 431.
