p 306 .

Paragrafo 3 . Il nuovo Copernico.

     
øøIntroduzione.

Albert Einstein, dopo la pubblicazione, nel 1905, del suo saggio sulla
teoria  della  relativit… speciale, o ®ristretta¯, venne definito  con
entusiasmo ®un nuovo Copernico¯(31).
     E'  fuori  di  dubbio  che la discussione  sui  fondamenti  della
matematica  e  della  fisica abbia prodotto  una  seconda  Rivoluzione
scientifica: di rilievo forse maggiore di quella iniziata da Copernico
e  proseguita  da  Bruno e da Galileo, da Descartes e  da  Newton,  da
Leibniz e da Kant.
     Si  Š  soliti  misurare  la portata di una rivoluzione  dai  suoi
effetti  e  dalla sua capacit… di eliminare il ®vecchio¯,  nel  nostro
caso  l'ancien r‚gime delle strutture e delle concezioni scientifiche.
Per  entrambi questi aspetti la nuova Rivoluzione scientifica  si  pu•
dire  pi£  efficace  della prima. Per quanto riguarda  le  conseguenze
tecnico-operative,  la  prima Rivoluzione ha prodotto,  in  oltre  due
secoli,  il passaggio dall'utilizzo dell'energia animale (o idraulica)
alla  macchina  a  vapore: mentre la seconda  ci  ha  portati,  in  un
cinquantennio  o  poco pi£, alle imprese spaziali e alla  cibernetica.
Ancora  pi£  rilevante ci sembra la differenza fra le due  Rivoluzioni
rispetto  alla rottura - e alla continuit… - con il passato: la  prima
ha  spazzato  via,  a  fatica, ma in maniera inesorabile,  la  vecchia
scienza  aristotelica,  ma ne ha ereditato in  sostanza  la  struttura
concettuale e la finalit…, cioŠ conoscere nella sua totalit… il  mondo
vero;  la  seconda ha conservato gran parte delle conoscenze  prodotte
dalla  scienza  moderna (e anche da quella antica)(32),  ma  ha  fatto
perdere  alla  scienza  il  ruolo di strumento  indiscutibile  per  la
conoscenza della verit….

øøI nuovi copernicani.
     
Dopo   la   rivoluzione  copernicana  la  lotta  fra   copernicani   e
anticopernicani  dur•  a  lungo,  e spesso  assunse  aspetti  cruenti,
titanici, tipici di uno scontro fra due Verit…, una delle quali doveva
essere necessariamente falsa.(33)
     Dopo  la  crisi  dei fondamenti della scienza i ®tradizionalisti¯
sono stati ben pochi, ma i ®rivoluzionari¯ si sono subito contrapposti
fra loro, hanno dato vita a ®scuole¯ destinate ben presto a dividersi,
e  a  ®correnti¯ che i loro stessi aderenti incontravano difficolt…  a
definire.
     Il  risultato complessivo Š stato la creazione di un labirinto di
posizioni  estremamente vitale e affascinante, ma  cos¡  intricato  da
rendere   arduo  -  se  non  impossibile  -  qualsiasi  tentativo   di
descriverlo. E' infatti molto difficile
     
     p 307 .
     
     raggruppare  i  diversi  scienziati e  filosofi  in  movimenti  e
correnti:  basta  consultare gli indici dei manuali di  filosofia  per
rendersi conto come lo stesso filosofo pu• venire inserito ora  in  un
movimento  ora in un altro, a seconda che si privilegi ora un  aspetto
ora un altro del suo pensiero.

øøAntinomie e paradossi della matematica.
     
La teoria degli insiemi di Georg Cantor.
     
Parallelamente  e  autonomamente da G. Frege,  il  matematico  tedesco
Georg  Cantor  aveva elaborato una teoria che estendeva l'applicazione
dei   procedimenti   matematici  al  di  l…   degli   oggetti   usuali
dell'indagine  matematica, quali i numeri, i  punti,  eccetera(34)  Si
tratta  della  teoria  degli insiemi, i cui elementi  essenziali  sono
ormai  -  anche  se  relativamente da poco - entrati nella  tradizione
dell'insegnamento della matematica nelle scuole.
     Secondo  la  teoria degli insiemi, come Š noto,  le  ®operazioni¯
sono  ricondotte  a relazioni logiche - prima fra tutte  quella  della
corrispondenza  biunivoca  -  che possono  prescindere  non  solo  dai
tradizionali  ®enti¯ matematici, ma addirittura dalla stessa  capacit…
di contare (numerare).(35)
     
Il problema dell'infinito.
     
La teoria di Cantor Š fondamentale per affrontare in maniera nuova uno
dei  pi£  grandi  problemi della filosofia e della matematica:  quello
dell'infinito. Nella matematica tradizionale perdurava  la  concezione
aristotelica della impossibilit… di concepire l'infinito in  atto:  la
possibilit…  di  continuare a contare illimitatamente  Š  appunto  una
®possibilit…¯; si tratta cioŠ di un infinito potenziale.(36)  Rispetto
alle relazioni fra insiemi, invece, niente ci impedisce di pensare una
corrispondenza biunivoca fra insiemi infiniti: a ognuno degli infiniti
elementi  dell'insieme  A  corrisponde un elemento  dell'insieme  B  e
viceversa.  Questa relazione Š decisamente in atto e, in quanto  tale,
rende in atto l'insieme infinito.(37)
     
     p 308 .
     
     La   riflessione   della   matematica  intorno   all'infinito   Š
un'®avventura¯ non molto dissimile da quella filosofica, a cui  spesso
si trova intrecciata, a partire dai paradossi di Zenone.
     L'infinito in atto di Cantor sfiora la metafisica, nonostante  la
convinzione  dello scienziato che la matematica sia  ®la  scienza  non
metafisica¯.  A  proposito  della ®totalit… dei  numeri  assolutamente
infinita¯ Cantor scrive che essa ®si comporta in modo simile a  quello
che  Albrecht  von Haller diceva dell'eternit…: "Io  lo  estraggo  (il
numero  prodigiosamente grande) e Tu (l'eternit…)  sei  ancora  intera
davanti a me"¯.(38)
     All'interno  della  teoria degli insiemi con  lo  stesso  termine
infinito si vengono a designare entit… diverse fra loro, e si Š dunque
costretti  a  procedere a una serie di chiarimenti e  precisazioni,  a
distinguere  tra  infinito  fisico,  infinito  geometrico  e  infinito
matematico;    per    poi   distinguere   ulteriormente    all'interno
dell'infinito matematico. Infatti non tutti gli insiemi infiniti  sono
equipotenti.(39) Se noi consideriamo gli insiemi degli infiniti  punti
di  due segmenti di diversa lunghezza - contrariamente a quanto accade
se  consideriamo  la  loro lunghezza - abbiamo  due  insiemi  infiniti
equipotenti, cioŠ tra i quali Š possibile stabilire una corrispondenza
biunivoca  (ad  ogni elemento del primo corrisponde  un  elemento  del
secondo  e  viceversa)(40). Se invece prendiamo in considerazione  due
insiemi  di  numeri,  entrambi infiniti,  come  l'insieme  dei  numeri
naturali (N) e quello dei numeri reali (R), essi non sono equipotenti,
dal momento che ad ogni elemento di N corrisponde un elemento di R, ma
non  viceversa,  perch‚ nell'insieme dei numeri reali fra  due  numeri
naturali  che si succedono si collocano infiniti numeri razionali.  Lo
stesso  discorso  vale per l'insieme dei numeri pari e  l'insieme  dei
numeri naturali, entrambi infiniti, ma non equipotenti.
     
p 309 .

Nuove soluzioni e nuovi problemi.
     
La  riflessione  matematica offre nuove soluzioni  non  metafisiche  a
problemi   -  come  quelli  relativi  all'infinito  -  che  sembravano
destinati  a  restare  confinati  in  una  dimensione  metafisica   (o
psicologica).  La  ragione riesce ad operare con infiniti  enti  reali
quali sono i numeri,(41) a raggruppare e ricondurre a unit… l'infinita
molteplicit…. L'antico sogno dei primi filosofi greci sembra sulla via
della realizzazione.
     Ma   alle  nuove  soluzioni  si  accompagnano  ben  presto  nuovi
problemi:  gi…  Cantor  individua alcuni aspetti contraddittori  della
propria  teoria.(42) Russell, poi, scopre altri paradossi  all'interno
della teoria degli insiemi; la cosiddetta ®contraddizione di Russell¯,
in modo figurato, pu• essere espressa nella forma:
     Il  barbiere rade ®tutte le persone del paese che non  si  radono
da sole¯.
     Il barbiere si rade da solo?(43)
     La  risposta Š chiaramente impossibile: se ®non si rade da  solo¯
dovrebbe - per questa condizione - essere raso dal barbiere,  cioŠ  da
se  stesso;  ma se si rade, ®si rade da solo¯ e, quindi, non  dovrebbe
radersi.
     La   matematica  e  la  logica,  nel  corso  della  loro   storia
millenaria,  hanno spesso incontrato paradossi, da quelli  famosissimi
di  Zenone  di  Elea a quello altrettanto famoso di  Epimenide.  Quasi
sempre,  per•,  i  logici  e  i matematici  non  vi  hanno  attribuito
eccessiva  importanza,  come se si trattasse di  ®confusione  verbale,
difficile da eliminare, ma sostanzialmente di poco conto¯.(44) Ma
     
     p 310 .
     
     quando   si   Š  aperta  la  discussione  sui  fondamenti   della
matematica  e sulla natura del numero, le questioni messe in  evidenza
dalle  contraddizioni  e  dai  paradossi  interni  alle  nuove  teorie
matematiche sono diventate rilevanti, e gli studiosi si sono impegnati
nella loro soluzione.
     Lo  stesso Russell si impegna in questa direzione e pensa di aver
trovato  una soluzione attraverso la sua teoria dei tipi, che consiste
in una pi£ precisa definizione del concetto di classe (il nome con cui
Russell  designa  gli insiemi) e in una migliore organizzazione  delle
classi.(45)
     Ma   anche   la   teoria  dei  tipi  non  risulter…   immune   da
contraddizioni.
     Parallelamente  a  Russell  altri matematici  si  erano  proposti
l'obiettivo di superare le contraddizioni che emergevano nella  teoria
degli  insiemi.  Ad  esempio gli intuizionisti, che  consideravano  le
entit…  matematiche  -  e  le relative regole  che  ne  descrivono  le
relazioni   -  ®costruzioni¯  della  mente  e,  pertanto,   ritenevano
possibile  ®eliminare¯ una di queste ®costruzioni¯ (come il  principio
del terzo escluso, per cui potremmo tranquillamente ritenere dotata di
senso,  cioŠ  non contraddittoria o paradossale, una proposizione  che
sia n‚ vera n‚ falsa).(46)
     
La metamatematica.
     
Qualunque  sia  la  concezione del numero  da  cui  si  parte  per  la
costruzione di una teoria matematica, Š comunque possibile arrivare  a
definire una teoria che non sia autocontraddittoria e che consenta  al
suo  interno  di  elaborare strumenti per superare le  contraddizioni.
Come  in uno stato regolato da leggi bene articolate, in cui Š  facile
distinguere  ci•  che  Š  legale da ci•  che  non  lo  Š,  e  adottare
provvedimenti idonei a ripristinare la legalit…. Ma solo se ci poniamo
da un punto di vista esterno a quelle regole, con punti di riferimento
pi£  generali  e  con  un pi£ ampio concetto della  legalit…  e  della
giustizia,  possiamo valutare se quelle leggi sono eque oppure  negano
valori fondamentali.(47) Questo procedimento, secondo David Hilbert, Š
applicabile  anche  alle teorie matematiche.  Ciascuna  di  esse  deve
essere considerata a prescindere dal significato dei simboli con cui Š
formalizzata, e senza preoccuparsi minimamente della verit… di  quanto
essi esprimono. Si tratta, in via preliminare, di stabilire le ®regole
di  formazione¯ di una qualsiasi teoria; di indicare, cioŠ, le  regole
che determinano quali combinazioni di simboli possono essere accettate
come  formule ben costruite di un sistema o di una teoria e quali  no.
Avremo  in  questo  modo  una metateoria utilizzabile  per  verificare
qualsiasi teoria o sistema.
     
     p 311 .
     
     Ovviamente  le  regole  e  i segni della metateoria  non  possono
essere  gli stessi della teoria o del sistema preso in esame: rispetto
alle diverse teorie matematiche avremo cos¡ una metamatematica che  ci
consente di sottoporle ad analisi e a una verifica formale.(48)
     E'  immediatamente  evidente  il significato  filosofico  di  una
simile  impostazione  teorica:  la  matematica,  anzich‚  considerarsi
struttura o linguaggio della realt…, sembra invocare un aiuto  da  una
scienza   pi£  ampia  -  la  filosofia  -  che,  sotto  le  vesti   di
metamatematica,   verifichi  la  validit…  della  matematica   stessa.
Naturalmente  questo tipo di filosofia perde a sua  volta  ogni  forza
rispetto  alla  realt…,  e  si  configura come  sapere  esclusivamente
formale.
     D'altro  canto  la  separazione dell'aspetto  formale  da  quello
contenutistico  (Einstein  dice della ®forma  logica¯  dal  ®contenuto
intuitivo  reale¯(49))  libera  la matematica  (e  in  particolare  la
geometria), ma anche la fisica, dal vincolo dell'esperienza e consente
la formulazione di sistemi assiomatici astratti, destinati comunque  a
diventare  strumenti  di  conoscenza e di descrizione  del  mondo  dei
fenomeni sensibili. Come abbiamo visto, la teoria della relativit…  di
Einstein  nasce  proprio  da  una progressiva  ®autonomizzazione¯  del
livello   teorico   da  quello  dell'esperienza  sensibile,   fino   a
configurarsi come una libera (arbitraria) attivit… intellettuale.
