43) G”del. Sul significato della ®prova di G”del¯.
Il significato e le conseguenze della ®prova di G”del¯ sono
esposte dallo stesso autore in questa lettura. Dato un sistema
chiuso comprendente alcuni assiomi e regole di deduzione, per
quanto generali ed astratti essi siano esistono all'interno del
loro logico sviluppo dei problemi non decidibili. In altri termini
non esistono sistemi logici capaci di autogarantire se stessi
completamente.
K. G”del, šber formal unentscheidbare S„tze der Principia
Mathematica und verwandter Systeme, traduzione italiana in E.
Agazzi, Introduzione ai problemi dell'assiomatica, Vita e
Pensiero, Milano, 1961, pagina 203 ( pagina 321).

 Lo sviluppo della matematica nella direzione di una maggiore
esattezza ha notoriamente condotto a questo, che larghi settori di
essa sono stati formalizzati, in modo che il procedimento
dimostrativo pu• essere condotto secondo alcune poche regole
meccaniche. I sistemi formali pi£ ampi attualmente approntati sono
il sistema dei Principia Mathematica (PM) da un lato, il sistema
assiomatico della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel
(perfezionato da J. V. Neumann) dall'altro. Questi due sistemi
sono tanto vasti, che tutti i metodi dimostrativi oggi applicati
nella matematica vengono in essi formalizzati, vale a dire
ricondotti a pochi assiomi e regole di deduzione.
Si presenta quindi naturale la congettura che questi assiomi e
queste regole di deduzione siano anche sufficienti per decidere
tutte quelle questioni matematiche che in genere si possono
esprimere formalmente nei rispettivi sistemi. Nel seguito di
questo lavoro si mostra che ci• non accade, ma che esistono in
entrambi i sistemi menzionati dei problemi, anche relativamente
semplici, appartenenti alla teoria degli usuali numeri interi, che
non sono decidibili sulla base degli assiomi. Questa circostanza
non dipende gi… dalla particolare natura dei sistemi sopraddetti,
ma vale per una classe molto ampia di sistemi formali, alla quale
in particolare appartengono tutti quelli che derivano dai due
predetti aggiungendo a essi un numero finito di assiomi, supposto
che attraverso gli assiomi aggiunti non divenga dimostrabile
alcuna falsa proposizione.
Novecento filosofico e scientifico, a cura di A. Negri, Marzorati,
Milano, 1991, volume secondo, pagina 816.
