
33) Archimede. La leva.
    Archimede Š famoso - addirittura a livello popolare - per aver
scoperto la legge della leva. Pu• essere interessante leggere
direttamente da un suo scritto la dimostrazione della ®legge¯ che
sta alla base del funzionamento della leva, e vedere come il
procedimento sia rigorosamente ed esclusivamente matematico, con
numerosi ed espliciti riferimenti agli Elementi di Euclide

Sull'equilibrio dei piani, libro I, proposizione 6 (vedi manuale
pagina 156).

1   Le grandezze commensurabili sono in equilibrio se sospese a
distanze inversamente proporzionali ai pesi.
2   Siano A e B grandezze commensurabili, i centri [di gravit…]
delle quali siano A, B; e sia ED una lunghezza qualunque, e si
abbia la proporzione A : B = CD : CE. Si deve dimostrare che il
punto C Š il centro di gravit… della grandezza composta delle A,
B.
3   Poich‚ A : B = CD : CE ed A Š commensurabile con C, dunque CD
Š commensurabile con CE (Euclide, X, 11) cioŠ la retta con la
retta, cosicch‚ esiste una misura comune di CE, CD. Sia essa N, e
si ponga uguale a CE ciascuna delle rette DG, DK ed uguale alla DC
la EL. E poich‚ DG Š uguale a CE, anche la DG Š uguale ed EG,
cosicch‚ anche la EL Š uguale ad EG. Dunque la LG Š doppia della
CD, mentre la GK Š doppia della CE, cosicch‚ la N misura ciascuna
delle LG, GK, dal momento che misura le loro met…. E poich‚ A : B
= CD : CE e inoltre CD : CE = LG : GK (ciascuna delle LG, GK Š
infatti doppia di ciascuna delle CD, CE) si avr… dunque A : B = LG
: GK (Euclide, V, 11).
4   Quante volte la LG contiene N, altrettante volte A contenga F;
dunque: LG : N = A : F. Ma si ha pure: GK : LG = B : A quindi ex
aequo si ha: GK : N = B : F (Euclide, V, 22). Quindi quante volte
GK contiene N altrettante volte B contiene F. Ma si Š determinato
F in modo che A sia un suo multiplo, cosicch‚ F Š misura comune di
A e di B. Quindi, divisa LG in parti uguali a N, e divisa A in
parti uguali a F, le parti LG uguali ad N saranno in ugual numero
delle parti di A uguali a F. Cosicch‚ se su ciascuna delle parti
di LG si pone una grandezza uguale ad F avente il centro di
gravit… nel punto medio della parte, l'insieme di tutte [le
grandezze] Š uguale alla A, e il centro di gravit… della grandezza
composta dall'insieme di tutte le grandezze sar… E (I, 5, coroll.
secondo) poich‚ infatti tutte le grandezze sono in numero pari e
quelle poste da ciascuna parte di E sono in numero uguale, dal
momento che LE = GE.
5   Similmente si dimostrer… che se su ciascuna delle parti in cui
Š divisa KG si pone una grandezza uguale a F avente il centro di
gravit… nel punto di mezzo della parte, tutte le grandezze uguali
[prese insieme] saranno uguali a B, e il centro di gravit… di
tutte le grandezze [prese insieme] sar… D. Dunque la grandezza di
A risulta posta in E, e la grandezza B in D. Ma grandezze uguali
tra loro, poste su una retta, e i centri di gravit… delle quali
distano ugualmente l'uno dall'altro, saranno in numero pari: Š
manifesto quindi che il centro di gravit… della grandezza composta
dall'insieme di tutte sar… il punto di mezzo della retta
contenente i centri delle grandezze di mezzo (I, 5, coroll.
secondo). E poich‚ LE Š uguale a CD, e CE Š uguale a DK, sar… pure
la [somma] LC uguale alla somma CK, cosicch‚ il centro di gravit…
dell'insieme di tutte le grandezze sar… il punto C. Dunque la
grandezza A posta in E, la B posta in D, sospese nel punto C, si
faranno equilibrio

(Archimede, Opere, UTET, Torino, 1974, pagine 403-406).

