Archimede.

A. Frajese: Euclide e Archimede nello sviluppo della matematica
greca

    Attilio Frajese ha curato per la UTET di Torino - oltre
all'edizione degli Elementi di Euclide - l'edizione delle Opere di
Archimede. Nelle pagine che seguono egli propone un interessante
confronto tra i due matematici dell'et… ellenistica e mette in
evidenza il carattere ®teorico¯ della ricerca scientifica
nell'antichit…. Anche se le applicazioni pratiche di un lavoro
teorico come quello di Archimede sono evidenti, e alcune - come ad
esempio la leva - note praticamente a tutti (®Datemi un punto di
appoggio e sollever• il mondo!¯)

Archimede, il pi£ grande matematico della civilt… greca e uno dei
pi£ grandi di tutti i tempi, nacque e visse a Siracusa nel terzo
secolo avanti Cristo: si conosce con certezza l'anno della sua
morte (il 212 avanti Cristo) la quale avvenne (come tutti sanno)
durante il saccheggio di Siracusa; e si ritiene probabile che egli
sia nato nel 287 avanti Cristo; Archimede segue dunque di poco
Euclide e precede di poco Apollonio, l'autore delle Coniche.
[...] I Greci ereditano dall'Oriente una matematica che aveva gi…
avuto sviluppi notevoli in aritmetica e in algebra, ma che era
ferma a una geometria materializzante, di carattere strettamente
pratico (regole di misura, soprattutto).
Nel mondo greco la geometria passa dallo stadio pratico, che pu•
dirsi di approssimazione, a quello teorico, che fu detto di
precisione: gli enti geometrici vengono idealizzati, considerati
come enti a se stanti, distaccati da ogni traccia di materia. E
questa idealizzazione subisce una svolta decisiva con la scoperta
delle linee incommensurabili (lato e diagonale del quadrato)
avvenuta, a quanto pare, nella scuola pitagorica sorta intorno al
maestro intorno al 500 avanti Cristo Se lato e diagonale di ogni
quadrato sono incommensurabili, cioŠ sono tali che nessun
segmento, comunque scelto, sia contenuto esattamente numeri interi
di volte tanto nell'uno quanto nell'altro, non Š possibile
concepire le linee come composte da un numero finito di punti,
assimilabili a granellini, pur piccoli. Secondo questa concezione
granulare, infatti, tutte le linee dovrebbero essere
commensurabili, poich‚ il segmentino-punto sarebbe contenuto
esattamente in ciascuna di esse. Conseguenza delle linee
incommensurabili (che Platone etern• in un celebre passo del
Menone) dovette essere quindi l' annichilimento del punto, che
venne concepito come addirittura privo di dimensioni [vedi la
prima ®definizione¯ degli elementi di Euclide]: conseguentemente
la linea fu concepita come lunghezza priva di larghezza e la
superficie come priva di spessore.
E' questo il vero colpo d'ala della geometria greca, che segna
l'inizio della geometria di precisione. [...].
E' immediatamente avvertibile negli Elementi di Euclide un
carattere di teoricit… assoluta: carattere che a nostro avviso Š
almeno in parte dovuto a una sorta di platonismo di Euclide:
almeno nel senso che questi condivide la concezione della
matematica che Platone espone nel grande Dialogo del suo meriggio:
la Repubblica. Fatto sta che, pur fornendo le costruzioni
geometriche che noi eseguiamo usando gli strumenti elementari
(riga e compasso), Euclide non nomina mai gli strumenti stessi,
postulando che le figure elementari costruite sorgano come per
incanto. E invano si cercherebbe negli Elementi di Euclide non
solo il minimo accenno a pratiche applicazioni, ma neppure il
bench‚ minimo esempio numerico o la pi£ semplice regola di misura.
[...].
Ora passiamo da Euclide ad Archimede ed esaminiamo le somiglianze
e le differenze fra i due tipi di trattazione. Innanzitutto una
differenza di stile: dallo stile elementare di Euclide si passa ad
uno stile per iniziati di Archimede. Ma, a parte ci•, anche in
Archimede, come in Euclide, la trattazione ha l'andamento di
®sintesi¯ che Š proprio del momento espositivo del sistema degli
Elementi: anche Archimede parte da proposizioni primitive (alle
quali d… denominazioni diverse, come lamban¢mena = assunzioni, o
l‚mmata = lemmi) e a mano a mano ne deduce proposizioni sempre pi£
complesse, fino a quelle che costituiscono lo scopo di ciascuna
opera. Sotto questo riguardo le opere di Archimede possono essere
considerate come la continuazione degli Elementi di Euclide:
continuazione resa anche pi£ evidente dal fatto che Archimede si
serve continuamente di proposizioni euclidee. Ma (ed Š qui una
differenza notevole) Archimede non disdegna regole di misura e
calcoli aritmetici: anzi si direbbe che se ne compiaccia. [...].
Alcune opere di Archimede sono dedicate a questioni che potremmo
dire di matematica applicata: basti citare i due libri
Sull'equilibrio dei piani, nei quali si determina la posizione del
baricentro di corpi di varia forma, e i due libri sui
Galleggiamenti, in cui si studia il comportamento statico-dinamico
di un corpo solido immerso in un liquido. Ma quando si parla di
applicazioni della matematica nelle opere di Archimede, occorre
rilevare che si tratta di matematica applicata nel senso in cui
pu• esser detta tale, ad esempio, la meccanica razionale odierna:
Archimede si tiene cioŠ lontano dalle applicazioni pratiche vere e
proprie. Queste ultime hanno, Š vero, occupato variamente il suo
ingegno, conformemente ha quanto la tradizione ci ha tramandato
circa i suoi geniali ritrovati; ma di essi non si trova traccia
nelle opere classiche, e sembra che ci• sia stato voluto da
Archimede, se vogliamo prestar fede a quando dice Plutarco (Vita
di Marcello, 14 e 17). Secondo questo antico autore, infatti, le
invenzioni meccaniche furono considerate da Archimede come un
semplice diversivo giocoso: per quanto gli procurassero immensa
celebrit…, tuttavia egli non le avrebbe ritenute degne di essere
tramandate mediante opere scritte.
Per mostrare (ci si scusi il bisticcio) il carattere altamente
teorico della matematica applicata trattata nelle opere di
Archimede, si sembra opportuno citare il caso delle proposizioni 6
e 7 del libro I di Equilibrio dei piani: esse trattano ambedue
della legge di equilibrio della leva, ma mentre la prima si
riferisce al caso di grandezze (pesi) tra loro commensurabili, la
seconda si riferisce al caso dell'incommensurabilit…: distinzione
che se ha un valore teorico non ha evidentemente alcun significato
pratico.
Potremmo dire che Archimede sia non soltanto il pi£ grande
matematico ma anche il pi£ grande ingegnere dell'antichit…:
ingegnere nel senso pi£ ampio, cioŠ non soltanto nel senso di
colui che applica la teoria alla pratica, ma anche di colui che
quella teoria costruisce. Sotto questo riguardo si trova in
Archimede quell'equilibrio che Š caratteristico dello spirito
greco: egli Š il matematico che per quanto riguarda rigore logico
e purezza di concezioni non Š secondo di fronte a Euclide, ma al
tempo stesso indirizza la sua matematica verso applicazioni
pratiche, pur espungendo queste ultime dalle sue opere, nelle
quali si limita ai presupposti teorici delle applicazioni stesse

 (A. Frajese, Introduzione ad Archimede, Opere, UTET, Torino,
1974, pagine 11-15).

