
32) Euclide. Il teorema di Pitagora.
La dimostrazione che segue del cosiddetto ®teorema di Pitagora¯
costituisce la proposizione 47 del primo libro degli Elementi di
Euclide. L'attribuzione del teorema proprio a Pitagora era dubbia
anche nell'antichit…. In ogni caso, la conoscenza intuitiva e
sperimentale del teorema si trova certamente nelle matematiche
orientali preelleniche. Originale, invece, Š sicuramente la
dimostrazione di Euclide, basata sulla teoria dell'equivalenza

Euclide, Elementi, I, 47 (vedi manuale pagine 155-156).

1   Nei triangoli rettangoli il quadrato dell'angolo opposto
all'angolo retto Š uguale alla somma dei quadrati dei lati che
comprendono l'angolo retto.
2   Sia ABC un triangolo rettangolo avente l'angolo BAC retto;
dico che il quadrato di BC Š uguale alla somma dei quadrati di BA,
AC.
3   Infatti, si descrivano il quadrato BDEC su BC e su BA, AC i
quadrati GB, HC, per A si conduca AL parallela all'una o all'altra
indifferentemente delle rette BD, CE, e si traccino le
congiungenti AD, FC. Ora, poich‚ ciascuno dei due angoli BAC, BAG
Š retto, le due rette AC, AG, che giacciono da parti opposte
rispetto alla retta BA, formano con essa e con i vertici nel punto
A, angoli adiacenti la cui somma Š uguale a due retti; quindi CA Š
in linea retta con AG. Per la stessa ragione pure BA Š in linea
retta con AH. E poich‚ l'angolo DBC Š uguale all'angolo FBA -
difatti ciascuno dei due Š retto -, si aggiunga in comune ad essi
l'angolo ABC; tutto quanto l'angolo DBA Š quindi uguale a tutto
l'angolo FBC. Ora, poich‚ DB Š uguale a BC e FB a BA, i due lati
DB, BA sono uguali rispettivamente ai due lati FB, BC; e l'angolo
DBA Š uguale all'angolo FBC, per cui la base AD Š uguale alla base
FC, e il triangolo ABD Š uguale al triangolo FBC. Ma il
parallelogrammo BL Š il doppio del triangolo ABD - essi hanno
infatti la stessa base BD e sono compresi fra le stesse parallele
BD, AL, mentre il quadrato GB Š il doppio del triangolo FBG:
difatti essi hanno, di nuovo, la stessa base FB e sono compresi
fra le stesse rette parallele FB, GC. [Ma doppi di cose uguali
sono uguali fra loro]; Š quindi uguale anche il parallelogrammo BL
al quadrato GB. Similmente, tracciate le congiungenti AE BK si
potr… constatare, si potr… dimostrare che il parallelogrammo CL Š
uguale al quadrato HC; tutto quanto il quadrato BDEC Š perci•
uguale alla somma dei due quadrati GB, HC. E il quadrato BDEC Š
descritto su BC, mentre i quadrati GB, HC sono descritti su BA,
AC. Quindi il quadrato del lato BC Š uguale alla somma dei
quadrati dei lati BA, AC.
4   Dunque, nei triangoli rettangoli il quadrato dell'angolo
opposto all'angolo retto Š uguale alla somma dei quadrati dei lati
che comprendono l'angolo retto - C.D.D


 (Euclide, Gli elementi, UTET, Torino, 1970, pagine 146-149).

